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Analyse (calcul différentiel, intégral, des variations)

 
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Robin
Terminator de dragons

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MessagePosté le: Mer 29 Aoû - 15:01 (2012)    Sujet du message: Analyse (calcul différentiel, intégral, des variations) Répondre en citant

Et me revoilà ! Non, je ne suis pas Roger le Tavernier, je suis Sylvain le mathématicien. Enfin, presque, Sylvain est mon troisième prénom, mais les deux premiers ne rimaient pas. (En fait si m'a-t-on fait remarquer, mais ce n'est pas grave Very Happy)

Je me suis rendu compte que ça faisait un bout de temps que je n'avais plus posté quelque chose de conséquent sur le forum, alors si je ne peux pas encore me relancer dans de jolies histoires (putain de temps comme dirait Sardou), je peux au moins parler de ce que je fais en cette époque troublée.

Les math. C'est beau les math. Et je ferai périr dans des sables mouvant le premier qui dira le contraire. Mais pour ça, il faudrait que je me relance dans une campagne en tant que MD, et c'est pas demain la veille. Parce que demain, c'est la veille de mon examen de calcul différentiel et intégral.

C'est long et moche un titre pareil hein ? Ça je veux bien vous l'accorder. Et une partie de ce cours partage la moitié des qualificatifs du titre. NON pas moche ! Je parlais bien sûr de "long". Ce cours est long, et par sa longueur, assez répétitif et ennuyeux.

Mais !
Car il y a un mais, je viens de dire plus haut, les math, c'est beau ! Les math en général, y compris le calcul différentiel et intégral (c'est la dernière fois que j'écris le titre en entier, plus tard, au besoin, j'abrègerai par CDI, comme ça je ferai économie des caractères que j'ai utilisé pour écrire cette phrase inutile)

Je vais donc dans ce post tenter de vous montrer certaines choses que j'apprends dans ce cours, et que je trouve intéressantes, belles, stupéfiantes ou que sais-je. En gros, des trucs cool Smile

Je me heurte évidement assez violemment (ça vous fait marrer hein, sadiques !) à une difficulté majeure :
pour vous convaincre de la beauté d'un théorème, il vous faut d'abord le comprendre. Et pour le comprendre, globalement... Et bien, je devrais probablement devoir vous expliquer tout le cours du début à la fin.


Bon, il me faut renoncer à vous expliquer le plus beau théorème du premier chapitre du cours, parce que c'est le dernier théorème. Malheureusement. Par contre, de manière plus concrète, et je l'espère plus amusante pour des gens qui ne sont pas baignés dans les math, je peux vous parler des séries.

Qu'est ce qu'une série ?
Dans le contexte où je vous parle, une série est définie par une somme infinie.
Dans un cas très simple par exemple, la série harmonique est le nom donné à une série particulière, c'est la somme infinie de tous les inverses des nombres entiers.

C'est à dire, notons là S :
S=1+1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
Où les "..." désignent le fait que la somme ne s'arrête jamais.
C'est l'exemple le plus connu lorsqu'on parle de série. Un énorme doute m'assaille, j'ai peut-être déjà expliqué un peu de calcul de série dans un post de l'année passée (même topic pour ceux qui voudraient aller voir, moi j'ai la flemme ^^), mais là c'est une introduction nécessaire à ce qui va suivre.

Si vous voulez en savoir plus sur des séries de ce style, demandez moi plus tard je vous répondrai avec plaisir, mais là je vais passer à un petit peu plus compliqué. Il faut bien que je parle de ce que je dois étudier, sinon ça ne sert à rien ;-)

Prenons une suite de fonctions.

Oulà, molo vous allez dire. Soyez sans crainte, ça ne veut dire que ce qui est écrit. C'est une suite, comme la suite de fibonacci, comme la suite à la base de la série harmonique, comme la suite que vous dites à voie haute lorsque vous comptez même (1, 2, 3, 4... et cetera, c'est une suite)

Mais à la place de nombre, ce sont des fonctions.

Donc des applications d'un ensemble à un autre (ici on va jouer avec des fonctions réelles, c'est à dire qui prennent une valeur réelle et renvoient une valeur réelle, par exemple f(x) = 2x)

Et puisque c'est une suite, on va l'indicer par n.
Je m'explique tout de suite avec un exemple, on va aller étape par étape.

On définit la fonction f(n,x)
où n est l'indice, et x et le réel auquel on va appliquer la fonction.
J'alterne crochet et parenthèse pour vous aider à y voir clair dans l'ordre des opérations. et le double signe d'égalité indique seulement que c'est une définition. Que je pose f tel qu'elle est donnée là.

f (n,x) == ( [ (x-3)/(2x+1) ]n )/n

Hum, je vais peut-être un peu fort là dessus mais au moins j'aurai un exemple pour faire ce que je veux faire plus tard. Pour vous aider à suivre, prenons par exemple n = 1, il nous donnera le premier terme de notre suite de fonction, et ce terme est :

x-3/2x+1

n=2 nous donne le deuxième terme, qui sera la moitié de la fraction ci dessus élevée à la deuxième puissance, n=3 nous donnera le troisième terme qui sera le tiers de la fraction ci dessus élevé à la 3e puissance, et ainsi de suite.

N'hésitez pas à prendre une feuille de papier pour écrire ça vous même, c'est souvent plus clair sur papier que sur écran d'ordi.


Revenons un peu à notre exemple de la série harmonique. Je m'étais arrêté en plein milieu et je n'avais rien dit, mais maintenant, je vous pose la question : cette somme s'arrête-t-elle un jour ? Existe-t-il un nombre (nommons le "X") tel que X est plus grand que la somme de tous les inverses de naturels ?

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + .... < X ?

Je vous laisse réfléchir un peu, mais pour le voir c'est pas spécialement évident (sauf quand on connaît une astuce, bien entendu)

La réponse est non. Mais pourquoi ? Si vous ne savez pas pourquoi, votre réponse ne vaut rien, il faut savoir le justifier... Voici une astuce possible (il y en a autant que vous voulez, je vous présente celle que je trouve la plus jolie, c'est tout)

1/3 est plus grand que 1/4 n'est-ce pas ?
De même, 1/5, 1/6, 1/7 sont tous plus grands que 1/8 ? Jusque là vous suivez ? Vous voyez où je veux en venir ?

La série harmonique (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...), je vais la minorer. C'est à dire, je vais vous donner une autre série (rappel : série = somme d'un nombre infini de terme)

Je commence d'abord par regrouper certains terme ensemble, pour que vous y voyez clair.
1, je le laisse tout seul
1/2, je le laisse tout seul
1/3, je le met avec 1/4
1/5, 1/6, 1/7, je les mets avec 1/8
de 1/9 à 1/15, je les mets tous ensemble avec 1/16
écrivez le chez vous, mettez des parenthèse autour des termes que je mets ensemble, et remarquez par vous-même :

1/3+1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 4 . 1/8 = 1/2
la somme de 1/9 à 1/16 > 8 fois 1/16 = 1/2
et cetera
Donc la série harmonique est plus grande qu'une série qui peut se regrouper par paquet, et quand on regarde chaque paquet, il vaut 1/2, donc la série harmonique est plus grande que 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 ... or ça, vous le voyez bien, n'a pas de limite. Vous pourrez rajouter autant de demi unité que vous voulez pour dépasser n'importe quel X (j'en reviens au grand "X") que vous vous seriez dit plus grand que la série harmonique.

Hum, je fais peut-être des phrases un peu longue, n'hésitez pas à les relire, vous aurez appris quelque chose ^^

Je le réécris une dernière fois avant de poursuivre :
on a donc que
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
est plus grand que
1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + ... qu'on a vu égale à 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... et qui clairement dépasse toute valeur que l'on se donnerait au départ. On dit qu'elle converge vers l'infini. Puisque sa limite est infinie, on dit aussi qu'elle diverge. Le terme "converger" est plutôt employé lorsqu'on a une limite finie.
Par exemple, la somme des carrés des inverses des naturels, elle, converge vers pi carré sur 6. (si vous en voulez la preuve demandez moi, je referai une note à ce propos)
(je parle ici de 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...)

Bref !

Maintenant, vous avez compris ce que c'est que converger, ou diverger.

Revenons plus haut à ma suite de fonction, indicée par n, prenant valeur réelle et renvoyant valeur réelle. Je vous la remets :

f (n,x) == ( [ (x-3)/(2x+1) ]n )/n

La question va être : si on fait la somme de toutes les fonctions qu'on obtient en prenant des valeur pour n allant de 1 à l'infini, aura-t-on convergence (vers une fonction bien définie ?) ou divergence (ça devient trop grand, c'est le bordel ?)

En le réécrivant, la question est : la série de fonction converge-t-elle ?

Et bien je vous donne un joli critère (et c'est maintenant que je reviens à ce qui est joli, dont j'avais parlé plus haut, et ce n'est là qu'un critère vu au premier cours de l'année, vous comprendrez pourquoi je n'essaie pas de vous expliquer la suite)

Si la fonction f(n,x) peut-être décomposée en un produit de deux fonctions (disons g et h) telle que la série de g converge et que h soit positive et telle que h(n , x) > h(n+1 , x)
Alors la série du produit des deux fonctions, donc la série de f converge.

Ici prenons h == 1/n. fonction constante, positive, telle que h(n+1,x) = 1/n+1 < 1/n = h(n , x), donc la condition sur h est satisfaite
Puisque h = 1/n, g = f/h donc
g== [(x-3)/(2x+1)]n

Or la série de g converge car (petite astuce supplémentaire, prenez en note si ça vous intéresse)
y == (x-3)/(2x+1) < 1
donc la série des puissances de y converge vers
1/(1-y)
Donc la série de g converge vers 1/[1-(x-3)/(2x+1)] -1 = (x-3)/(x+4)
Pour ce calcul, il faut faire attention parce que la série de puissance doit prendre en compte le premier terme, lorsque n=0, qui vaut 1, or ici nous ne l'avons pas, donc il faut le soustraire et le rajouter, pour avoir la série de puissance -1. Si vous ne comprenez pas ce calcul, ce n'est pas grave, et si vous voulez le comprendre, alors demandez moi ^^

Donc on a bien rempli les conditions, donc la série de f converge bien. Par contre on n'a pas la limite, pour l'avoir c'est un peu plus compliqué. Et j'ai également passé les détails à propos de l'ensemble dans lequel f prend des valeurs (pour x, ici on regardait l'intervalle fermé de 1 à 3, sinon certains arguments ne marchent plus)
Et je vais m'arrêter là parce que ça fait déjà un beau pâté, et que je dois étudier plus sérieusement la suite de ma matière ^^
Bravo à ceux qui ont tout lu Smile J'imagine que ça doit être assez indigeste comme explications, mais je vous assure que c'est assez magnifique dans certains cas, les résultats qu'on peut obtenir.

Si je trouve un sujet plus loin dans la matière qui puisse être retranscrit ici, soyez assurés que je m'y manquerai pas Very Happy

Samedi et dimanche je passerai aus statistiques, si ça vous intéresse je pourrai vous en parler aussi, c'est déjà un peu plus concret que du cdi (aha! au moins j'aurai utilisé cette abréviation une fois !) fort théorique.


Dernière édition par Robin le Mer 29 Aoû - 18:19 (2012); édité 1 fois
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MessagePosté le: Mer 29 Aoû - 15:01 (2012)    Sujet du message: Publicité

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Robin
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MessagePosté le: Mer 29 Aoû - 19:14 (2012)    Sujet du message: Analyse (calcul différentiel, intégral, des variations) Répondre en citant

Passons à une vitesse supérieure pour une petite intro aux propriétés de fonctions holomorphes.

Pour changer, on va faire le chemin à l'envers, je commence par le dernier joli théorème, et j'explique après comment on y arrive.
Autre nouveauté, je vais essayé d'aérer un peu le texte en utilisant les spoilers quand je le pourrai

Donc, voici le théorème des résidus :

Si on a un ouvert U dans les complexes
gamma un chemin fermé
= dérivable sauf en un nombre fini de point
, parcouru dans le sens positif
on suppose gamma bord d'un sous
= ouvert connexe
V dans U
une fonction f allant de U moins un nombre fini de points (ai, i allant de 1 à p, p est fini) à image dans les complexes, f étant holomorphe sur l'ensemble où elle est définie
Alors le théorème nous dit que
1/2πi fois l'intégrale de f sur le chemin gamma = la somme des résidus de f aux points ai

la démonstration fait appel à plusieurs résultats que l'on montre plus tôt dans le chapitre, je vais y arriver

Commençons par définir le résidu d'une fonction holomorphe en un point
Il s'agit du coefficient a-1 de la série de Laurent de la fonction autour de ce point.

Il faut un peu argumenter voir utiliser Green pour montrer qu'on n'a pas de souci dans la démo pour séparer les différents points, ensuite on regarde un point tout seul

prenons une fonction holomorphe sauf en un point z0, on a déjà démontré dans le chapitre, je vais le montrer plus loin dans le post, qu'on peut la développer en série de laurent autour de z0

le lemme nous dit donc que le coefficient a-1, donc le résidu, est donné par 1/2πi fois l'intégrale de la fonction sur un chemin fermé autour de z0
1/2πi de l'intégrale de la fonction sur le chemin donné est égale à 1/2πi de l'intégrale de sa série de Laurent, puisqu'on a convergence uniforme de la série de Laurent (j'y reviendrai), et ceci, de part la CU, est égale à la série des an intégrale de (z-z0)n, et là, on a que l'intégrale est 2πi si n = -1, nulle sinon (j'y reviendrai aussi), donc au final on a notre résultat


Reste trois trucs à démontrer : dvp série Laurent, CU série Laurent, et l'intégrale = 2πi ssi n=-1

Soit dit en passant, ce dernier lemme nous permet aussi de facilement démontrer l'unicité des coefficients de Laurent (que j'expliciterai plus tard, les coefficients)
on suppose qu'il y en a d'autre, on explicite les premiers selon la formule, la CU nous permet de sortir la série de l'intégrale, le lemme nous donne le delta de kronecker, tout ça en séparant la fonction en sa partir holomorphe et sa partie principale.


l'intégrale sur gamma de (z-z0)n : on calcule selon formule d'intégrale curviligne en explicitant z et z0 sous forme complexe trigo, on met en évidence ce qu'on peut, et cela nous donne donc que l'intégrale cherchée vaut Rn+1i fois l'intégrale de 0 à 2π de e it(n+1) dt, et cela vaut 2πi si n = -1, et si n est différent de -1, on résoud l'intégrale et on voit qu'elle est nulle


Reste à démontrer que la fonction est développable en série de Laurent et que celle ci converge uniformément et absolument

Je vous donne le thm exact mais pour la démo, je ne la ferai pas ici, trop compliquée à expliquer sans schéma approprié et avec des notations aussi ennuyantes que celles autres que ce qu'on écrit nous-même sur papier. (vous n'avez pas compris ma phrase, c'est pas grave, moâ, je me comprends Very Happy)

Si on a une fonction holomorphe d'un
rR[/sub]]ensemble de point appartenant aux complexe tels que r < valeur absolue de (z-z0) < R
allant dans les complexes

Alors :
Si z appartient à DrR
on a que f(z) = la série de Laurent = la série des an (z-z0)n pour n allant de -∞ à +∞
où coefficients de Laurent == an==1/2πi fois l'intégrale sur
où gamma est un chemin fermé C1 par morceau homotope dans DrR au chemin t—> r0 eit où t parcourt 0 à 2π et r < r0 < R

De plus la série de Laurent converge absolument et uniformément vers f sur tout couronne (disque) strictement comprise dans DrR

On va faire un chemin pas simple à expliquer sans schéma pour intégrer sur ce chemin, appliquer la formule intégrale de Cauchy, séparer f en sa partie holomorphe (équivalent à la partie dévelopable en série de taylor, c'est à dire la série de laurent restreinte aux n positifs) et sa partie principale (non holomorphe, série de laurent pour n strictement négatif), et appliquer le critère de Weierstress qui nous donnera la convergence absolue et uniforme souhaitée


Pour Weierstrass, explication simplifiée, remontez de 2 post, je vous ai montré un critère de convergence uniforme en décomposant une fonction en un produit, l'un tendant vers 0 et l'autre convergent en série, ça, c'était le critère dit d'Abel. Critère de Weierstrass est relativement semblable, quoiqu'un peu plus restrictif, et pour cause, en plus de la convergence uniforme, il nous assure également la convergence absolue.


Prochainement j'expliquerai (ou pas)
ce que c'est qu'être homotope
la formule intégrale de Cauchy (dans ce contexte, parce qu'il y en a peut-être d'autres, il a fait beaucoup de truc Cauchy en son temps ^^)
Mais pour l'heure, j'ai assez mangé de mise en page avec tous ces indices et ces exposants ^^
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Robin
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MessagePosté le: Mer 19 Sep - 21:19 (2012)    Sujet du message: Analyse (calcul différentiel, intégral, des variations) Répondre en citant

Et me revoilà ! (je suis toujours là, pour rester dans les mêmes références)

Petite présentation de certaines notions en théorie de la mesure
Commençons par le début


Prenons oméga un ensemble, et notons A un ensemble de partie d'oméga (A est inclu à P(oméga), P(X) est l'ensemble des parties de X, l'ensemble des sous ensembles de X)


A est une sigma algèbre si A satisfait les trois conditions suivantes :
1) oméga appartient à A
2) si un ensemble appartient à A, alors son complémentaire appartient à A
3) si une collection (infinie) d'ensemble appartenant à A, alors l'union (infinie donc) de ces ensembles appartient à A


Cela implique de multiples choses :

1 et 2 nous disent que l'ensemble vide (phi) appartient à A

Une union finie d'ensembles qui appartiennent à A appartient à A (en prenant 3 et en prenant un nombre finie d'ensemble non vide dans la collection)

L'intersection (possiblement infinie) d'ensembles appartenant à A appartient à A, en effet, on utilise 2 et 3, en sachant que l'intersection d'une collection d'ensemble est le complémentaire de l'union des complémentaires des ensembles de la même collection. (je vous laisse réfléchir à cette phrase, ça peut faire du bien de bien la comprendre)

Si deux ensembles appartiennent à A, alors le premier moins son intersection avec le deuxième appartient à A. En effet, le complémentaire de cet ensemble correspond à l'union du complémentaire du premier avec le deuxième. Je vous invite encore une fois à méditer là dessus, ça ne sont jamais que des "patates" n'est ce pas ? Faites des dessins, ça peut aider à se rendre compte de quoi on parle vraiment.


Continuons donc. A partir d'oméga, nous pouvons définir une fonction (qui prendra ses valeurs dans Rn, Cn ou R∞n
Ou j'entends par R les réel, C les complexe, et R∞, aussi noté R surmonté d'une barre (comme pour une adhérence, dans un certain sens), R union avec plus ou moins l'infini.

Une telle fonction est dite A-mesurable si pour tout ouvert dans l'ensemble de ses images, l'image inverse de cet ouvert appartient à A.
Selon une vision probabiliste, on dit que f est une variable aléatoire.


On a bien entendu certaines propriétés.

Si f prend ses valeurs dans les complexes, alors le fait que f soit A-mesurable est équivalent au fait que ses parties entières et imaginaires soient A mesurables. De plus, si f est A-mesurable, alors sa valeur absolue l'est aussi.

Si on a deux fonctions A-mesurables, alors leur produit et leur somme sont également A-mesurables.

La fonction indicatrice d'un ensemble appartenant à A est une fonction A-mesurable.

Je vous passe les démonstrations. (demandez si vous voulez savoir comment on joue avec de genre de notions, mais comme j'ai de nombreux doute quant à l'intérêt général, je ne vais pas m'ennuyer avec la façon de le formuler pour rien ^^)


Maintenant qu'on sait ce qu'est une sigma algèbre, on va se demander comment en obtenir une. On peut par exemple en engendrer une par une collection de sous ensembles de oméga. On considère alors toutes les sigma algèbre qui contiennent tous les éléments de notre collection. Et on en considère l'intersection. On obtient donc la plus petite (au sens de l'inclusion) sigma algèbre contenant tous les éléments de notre collection.

On peut considérer les ouverts de oméga (pour une certaine topologie donnée) comme notre collection, et considérer la sigma algèbre engendrée par ces ouverts. On l'appelle la sigma algèbre de Borel. Ses éléments sont naturellement appelés boréliens. (sans la majuscule... et oui, c'est ça la notoriété, avoir son nom de famille passé en nom commun, et même parfois utilisé en adjectif)

Une fonction qui est mesurable au sens de la sigma algèbre de Borel est dite borélienne.
Notamment une fonction continue (au sens topologique) est borélienne.


Pour la suite, ça commence à être un peu plus complexe à formuler. Je ne suis déjà même pas sûr (je suis d'ailleurs presque certain du contraire) que je n'ai pas été clair, alors bon.
Pour votre information générale, de telles notions sont utilisées pour développer la théorie d'intégration selon Lebesgue. On utilise quelques théorèmes pour caractériser les objets avec lesquels on joue, on introduit la notion de fonctions simples, quelques détails à remarquer, des propriétés intéressantes et utiles, et on arrive définir ce qu'est une mesure. Je vais d'ailleurs l'écrire ici, c'est peut-être compréhensible. Et puis, ce n'est qu'une idée que je transmet ici, il m'est fort difficile de faire passer tous les détails et toute la rigueur nécessaire à telle théorie simplement par des messages sur le forum. Bref.


On a déjà oméga et A, une sigma algèbre sur oméga.

Prenons µ une fonction à valeur dans A et à image dans le segment [0,+∞] (attention, pas d'erreur, l'image peut être infinie)

Alors la fonction µ est une mesure sur A si elle remplit la condition suivante :

1) Une collection d'ensembles, éléments de A, disjoints implique que la mesure de leur union est égale à la somme de leurs mesures (pour rappel, la mesure est la fonction µ, prenant ses valeurs dans A, et l'union d'éléments de A appartient à A, c'est donc bien défini)
On appelle cette propriété la sigma-additivité.

Par convention on suppose qu'il existe un élément de A dont la mesure n'est pas infinie. (si l'on se passe de cette convention, il faut faire attention à des cas particuliers dans de nombreux théorèmes, cette convention permet d'écrire des résultats généraux sans faire des exceptions multiples)

On appelle (oméga, A, µ) un espace de mesure, ou espace mesuré

Notons que si par exemple la mesure d'oméga, c'est à dire la mesure de "tout", est égale à 1 (ou vu autrement est "normé" à 1), alors la mesure ainsi définie peut-être notée P et on parle d'espace de probabilité.

On a plusieurs exemples de mesures relativement simple, dit en passant par exemple, la mesure qui compte les points avec la fonction cardinal qui renvoie la taille d'un ensemble fini, et le cas µ = ∞ si l'ensemble n'est pas fini, et une autre : la mesure de Dirac en un point x qui peut-être vu comme une indicatrice d'une certaine manière, mais qui n'en est pas une (attention à cela), qui renvoie 1 si le point X appartient à l'ensemble, et 0 sinon. La différence avec l'indicatrice, c'est que dans le cas de l'indicatrice, c'est x qui varie, tandis qu'ici c'est l'ensemble que l'on regarde pour savoir si x lui appartient.

Avec de telles notions on peut commencer à réfléchir comment définir une intégrale autrement que la manière classique, la manière Riemannienne, avec les sommes de Darboux. Si vous le souhaitez (ou si j'en ai envie, même si vous le voulez pas), je continuerai une autre fois en montrant comment définir l'intégrale.

Bonne cogitation Smile
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